Diana Rusanovschi, anul 4, Facultatea de Matematica si Informatica
Andrei Perjan, doctor, conferentiar universitar

Se examineaza urmatoarea problema Cauchy :

unde p_i,q_iÎ C¹[0, ) ,i=0,1 , iar e este un parametru mic pozitiv.

Se cerceteaza comportarea solutiei problemei (1) , (2) y(x, e ) cand e ® 0. Problema (1) ,(2 ) se incadreaza in teoria perturbatiilor, teorie ce cunoaste o dezvoltare de peste 200 de ani. Problemele perturbate sunt divizate in doua clase : probleme regulat perturbate si probleme singular perturbate. Primele se caracterizeaza prin faptul ca solutiile problemei perturbate converg catre solutiile problemei neperturbate, atunci cind e ® 0, intr-o anumita topologie aleasa. Caracteristica principa ale problemelor singular perturbate este ca solutiile acestei probleme converg catre solutiile problemei neperturbate nu in tot domeniul lor de existenta. In acest caz exista subdomenii, numite strat-limita, in care solutia are o comportare singulara in raport cu parametrul e , atunci cind e ® 0. Functia care descrie comportarea solutiei y(x, e ) in stratul-limita se numeste functie de strat-limita. In problema (1) , (2) functie de strat-limita poseda doar derivata y’(x, e ) in vecinatatea punctului x=0 (stratul-limita). Aceasta rezulta din urmatoarea teorema:

TEOREMA. Fie functiile p_i ,q_i,f Î C [ 0, ), i= 0,1, iar p₀(x) ¹ 0, x Î [0, ), atunci pentru solutia problemei (1) , (2) au loc relatiile :

y(x, e )=y(x, 0) + O( e ) , e ® 0 , (3)
y’(x, e )= y’(x, 0) + O( e ) , e ® 0 , (4)

uniform in raport cu x Î [ 0,T ] , (T>0).
Daca in plus p₀(0)y₁ + q₀(0)y₀ =f(0) , atunci relatia (4) ia forma y’(x, e )=y’(x, 0)+O( e ) ,e ® 0, uniform , in raport cu xÎ [0,T ] , (T > 0).